Question

某牛奶廠2008年初有資金1000萬(wàn)元，由于引進(jìn)了先進(jìn)設(shè)備，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到50%．每年年底扣除下一年的消費(fèi)基金x萬(wàn)元后，剩余資金投入再生產(chǎn)．
（1）分別寫(xiě)出這家牛奶廠2009年初和2010年初投入再生產(chǎn)的剩余資金的表達(dá)式．
（2）預(yù)計(jì)2012年底，這家牛奶廠將轉(zhuǎn)向經(jīng)營(yíng)，需資金2000萬(wàn)元（該年底不再扣除下年的消費(fèi)基金），當(dāng)消費(fèi)基金x不超過(guò)多少萬(wàn)元時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向經(jīng)營(yíng)的目標(biāo)（精確到萬(wàn)元）？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于引進(jìn)了先進(jìn)設(shè)備，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到50%．每年年底扣除下一年的消費(fèi)基金x萬(wàn)元后，剩余資金投入再生產(chǎn)，可得2009年初和2010年初投入再生產(chǎn)的剩余資金的表達(dá)式．
（2）設(shè)從2008年底這家牛奶廠的資金組成數(shù)列為{a_n}，則這個(gè)數(shù)列滿足a₁=1 000•

3

2

-x，a_n+1=

3

2

a_n-x，可得數(shù)列{a_n-2x}是首項(xiàng)為1 000•

3

2

-3x，公比為

3

2

的等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用a₅+x≥2 000，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）2009年初的剩余資金為1 000•

3

2

-x；2010年初的剩余資金為（1 000•

3

2

-x）•

3

2

-x．
（2）設(shè)從2008年底這家牛奶廠的資金組成數(shù)列為{a_n}，
則這個(gè)數(shù)列滿足a₁=1 000•

3

2

-x，a_n+1=

3

2

a_n-x．
設(shè)a_n+1+λ=

3

2

（a_n+λ），展開(kāi)與a_n+1=

3

2

a_n-x比較可得λ=-2x，
即a_n+1=

3

2

a_n-x可以變換為a_n+1-2x=

3

2

（a_n-2x），
即數(shù)列{a_n-2x}是首項(xiàng)為1 000•

3

2

-3x，公比為

3

2

的等比數(shù)列，
所以a_n-2x=（1 000•

3

2

-3x）•（

3

2

）^n-1，即a_n=2x+（1 000•

3

2

-3x）•（

3

2

）^n-1．
從2008年初到2012年底共計(jì)5年，
所以到2012年底該牛奶廠剩余資金
a₅=2x+（1 000•

3

2

-3x）•（

3

2

）⁴，只要a₅+x≥2 000，
即2x+（1 000•

3

2

-3x）•（

3

2

）⁴+x≥2 000即可，
解得x≤

17900

39

≈458.97（萬(wàn)元）．
故當(dāng)消費(fèi)基金不超過(guò)458萬(wàn)元時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向經(jīng)營(yíng)的目標(biāo)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查數(shù)列模型，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．