Question

如圖，四面體P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，PA=PB=2，PC=4，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)．
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，寫出點(diǎn)B、C、E、F的坐標(biāo)；
（2）求EF與底面ABP所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）如圖，以PA所在直線為x軸，PB所在直線為y軸，PC所在直線為z軸，P為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)B、C、E、F的坐標(biāo)；
（2）證明∠FBG為BF與平面ABP所成的角，即可求EF與底面ABP所成角的余弦值．

解答： 解：（1）如圖，以PA所在直線為x軸，PB所在直線為y軸，PC所在直線為z軸，P為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0，4），A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0，0）．
因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，所以E（1，1，0）．
因?yàn)镕為CE中點(diǎn)，所以F（

1

2

，

1

2

，2）．
（2）連接PE，設(shè)G為PE中點(diǎn)，連接FG、BG，則G（

1

2

，

1

2

，0）
因?yàn)镻A、PB、PC兩兩互相垂直，所以PC⊥平面ABP，
因?yàn)镕、G分別為CE、PE的中點(diǎn)，
所以FG∥PC，所以FG⊥面ABP．
故∠FEG為EF與平面ABP所成的角．
因?yàn)?span id="6wu6qxe" class="MathJye">

EF

=（-

1

2

，-

1

2

，2），

EG

=（-

1

2

，-

1

2

，0）．
所以cos∠FEG=

1 2

9 2 • 1 2

=

1

3

，
即EF與底面ABP所成的角的余弦值為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查BF與底面ABP所成的角的余弦值，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確求出向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵．