Question

7．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），右準(zhǔn)線方程為：x=4
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C上點(diǎn)N到定點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜2）的距離的最小值為1，求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）分別過(guò)橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，圍成如圖所示的矩形，A、B是所圍成的矩形在x軸上方的兩個(gè)頂點(diǎn)．若P、Q是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線OP、OQ與橢圓的另一交點(diǎn)分別為P₁、Q₁，且直線OP、OQ的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求四邊形PQP₁Q₁的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)$\left\{{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{a^2}{c}=4}\end{array}}\right.$，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）設(shè)N（x，y），可得MN²的表達(dá)式是一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)，分對(duì)稱軸x=4m在（0，2]、（2，+∞）兩種情況討論即可；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），通過(guò)斜率計(jì)算可得${x_1}^2+{x_2}^2=4$，分x₁=x₂、x₁≠x₂兩種情況討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），
由題意得：$\left\{{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{a^2}{c}=4}\end{array}}$，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}}$，
∴b²=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1；
（2）設(shè)N（x，y），則$M{N^2}={（x-m）^2}+{y^2}={（x-m）^2}+3（1-\frac{x^2}{4}）=\frac{1}{4}{x^2}-2mx+{m^2}$+3，
對(duì)稱軸：x=4m，-2≤x≤2，
①當(dāng)0＜4m≤2，即0＜m≤$\frac{1}{2}$，x=4m時(shí)，MN²_min=-3m²+3=1，
解得：m²=$\frac{2}{3}＞\frac{1}{4}$，不符合題意，舍去；
②當(dāng)4m＞2，即$\frac{1}{2}$＜m＜2，x=2時(shí)，MN²_min=m²-4m+4=1，
解得：m=1或m=3；
∵$\frac{1}{2}$＜m＜2，∴m=1；
綜上：m=1，N（2，0）；
（3）結(jié)論：四邊形PQP₁Q₁的面積為定值4$\sqrt{3}$．
理由如下：
由題意得：四條垂線的方程為：x=±2，y=±$\sqrt{3}$，
則$A（2，\sqrt{3}）$，$B（-2，\sqrt{3}）$，∴k_OA•k_OB=-$\frac{3}{4}$．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$                          （*）
PQ=$\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$．
∵點(diǎn)P、Q在橢圓C上，∴${y_1}^2=3（1-\frac{{{x_1}^2}}{4}）$，${y_2}^2=3（1-\frac{{{x_2}^2}}{4}）$，
將（*）式平方得：9x₁²x₂²=16y₁²y₂²=9（4-x₁²）（4-x₂²），即x₁²+x₂²=4，
①若x₁=x₂，則P、P₁、Q、Q₂分別是直線OA、OB與橢圓的交點(diǎn)，
∴四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：$（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，$（\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，$（-\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，$（-\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，
∴四邊形PQP₁Q₁的面積為4$\sqrt{3}$；
②若x₁≠x₂，則直線PQ的方程可設(shè)為：y-y₁=$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，
化簡(jiǎn)得：（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，
∴點(diǎn)O到直線PQ的距離為d=$\frac{{|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|}}{{\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}}}$，
∴△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}PQ•d=\frac{1}{2}|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|=\frac{1}{2}\sqrt{{x_1}^2{y_2}^2-2{x_1}{x_2}{y_1}{y_2}+{x_2}^2{y_1}^2}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{3{x_1}^2（1-\frac{{{x_2}^2}}{4}）+\frac{3}{2}{x_1}^2{x_2}^2+3{x_2}^2（1-\frac{{{x_1}^2}}{4}}）=\frac{1}{2}\sqrt{3（{x_1}^2+{x_2}^2）}=\frac{1}{2}\sqrt{3×4}=\sqrt{3}$．
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，故四邊形PQP₁Q₁的面積為4S，即為定值4$\sqrt{3}$．
綜上：四邊形PQP₁Q₁的面積為定值4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離、三角形面積公式，韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論的思想，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．