Question

2．橢圓E：$\frac{x^2}{5}$+$\frac{y^2}{4}$=1的右焦點(diǎn)F，直線l與曲線x²+y²=4（x＞0）相切，且交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，記△FAB的周長為m，則實(shí)數(shù)m的所有可能取值所成的集合為{2$\sqrt{5}$}．

Answer 1

分析 確定AQ，BQ，利用橢圓第二定義，即可求出實(shí)數(shù)m的所有可能取值所成的集合

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切點(diǎn)為Q，則
$\begin{array}{l}A{Q^2}=A{O^2}-{r^2}={x^2}_1+{y_1}^2-4（∵\(yùn)frac{{{x_1}^2}}{5}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1）\\={x^2}_1+4（1-\frac{{{x_1}^2}}{5}）-4=\frac{{{x_1}^2}}{5}\\∴AQ=\frac{{{x_1}^{\;}}}{{\sqrt{5}}}（∵{x_1}＞0）\end{array}$
同理可求得：$BQ=\frac{{{x_2}^{\;}}}{{\sqrt{5}}}$
由橢圓第二定義：
$\begin{array}{l}AF=a-e{x_1}=\sqrt{5}-\frac{1}{{\sqrt{5}}}{x_1}\\ BF=a-e{x_2}=\sqrt{5}-\frac{1}{{\sqrt{5}}}{x_2}\\ AF+BF=2\sqrt{5}-\frac{1}{{\sqrt{5}}}（{x_1}+{x_2}）\end{array}$
$\begin{array}{l}△ABF周長=AB+AF+BF=\frac{1}{{\sqrt{5}}}（{x_1}+{x_2}）+2\sqrt{5}-\frac{1}{{\sqrt{5}}}（{x_1}+{x_2}）\\=2\sqrt{5}（為定值）\end{array}$
故答案為：{2$\sqrt{5}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程與性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．