Question

17．在數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，2（S_n+1）=3a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{2n}{{a}_{n}}$}前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）解：∵2（S_n+1）=3a_n（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，2（a₁+1）=3a₁，解得a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，2（S_n-1+1）=3a_n-1，2a_n=3a_n-3a_n-1，化為a_n=3a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3，
∴a_n=2×3^n-1．
（2）證明：$\frac{2n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{$\frac{2n}{{a}_{n}}$}前n項(xiàng)和為T_n=$1+\frac{2}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}+\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{3（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{2}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3+2n}{2×{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{9}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n-1}}$$＜\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．