Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，為直角三角形且，是等邊三角形.

（1）求證：；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）取AP中點F，連接DM，BM，由已知可證PA⊥DM，PA⊥BM，又DM∩BM=M，可得PA⊥平面DMB，因為BD平面DMB，可證PA⊥BD；

（2）由已知可得△DAP是等腰三角形，又△ABP是等邊三角形，可求出MD⊥MB，以MP，MB，MD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．求出平面DPC與平面PCB的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角D﹣PC﹣B的余弦值，進一步求得正弦值．

（1）證明：取中點，連，

∵，為等邊三角形，

∴，又，

∴平面，又∵平面，∴.

（2）解：∵，為中點，結(jié)合題設(shè)條件可得，

∴，∴.

如圖，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則，

得，，，

設(shè)平面的一個法向量，

則即，∴.

設(shè)平面的一個法向量，

由即，∴.

∴ .

設(shè)二面角的平面角為，則由圖可知，∴.