Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性.

（Ⅱ）若時(shí)，存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（I）對(duì) 求導(dǎo)，得，令，對(duì)，，進(jìn)行分類討論，得的單調(diào)性即可；

（II）存在兩個(gè)正數(shù)m，n使得成立，轉(zhuǎn)化為，令對(duì)求導(dǎo)，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以在取得最小值為 ，得出，計(jì)算即可得出結(jié)論.

（I）依題意，可知

對(duì)于函數(shù)，

當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增.

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，其中

若，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

若，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（II） 當(dāng)a=4時(shí)，存在兩個(gè)正數(shù)m，n使得成立，則，所以，

即

令

則

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

所以函數(shù)在取得最小值，最小值為.

所以，即，解得或

因?yàn)?/span>，所以.