Question

18．已知函數(shù)y=f（x+2）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2^x-1，則f（log₂24）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)y=f（x+2）為偶函數(shù)，可得函數(shù)的周期性，利用當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2^x-1，即可求出f（log₂24）．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x+2）為偶函數(shù)，
∴f（-x+2）=f（x+2），
∴f（x+4）=f（-x），
∵函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱，
∴f（-x）=-f（x+2），
∴f（x+4）=-f（x+2），
∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)的周期為4，
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2^x-1
∴f（log₂24）=f（log₂24-4）=f（log₂$\frac{3}{2}$）=${2}^{lo{g}_{2}\frac{3}{2}}$-1=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．