Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，點(diǎn)Q（$\frac{a^2}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}$，0）在直線l：x=2上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l′與橢圓相切于點(diǎn)A，求△POA面積S的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，點(diǎn)Q（$\frac{a^2}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}$，0）在直線l：x=2上，求出a，b，c，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出切線方程和代入橢圓方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，△=0，求得A和P點(diǎn)的坐標(biāo)，求得丨OP丨及A到直線OP的距離，根據(jù)三角形的面積公式求得S，平方整理關(guān)于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為2，∴半焦距c=1．
∵點(diǎn)$Q（\frac{a^2}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}，0）$在直線l：x=2上，$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}$，∴$\frac{a^2}{c}=2$．
又c=1，∴a²=2．
∴b²=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）依題意，直線l′的斜率存在，可設(shè)直線l′的方程為y=kx+m，設(shè)P（2，y₀），A（x₁，y₁）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}-2=0\end{array}\right.$消去y，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
∵△=0，∴m²=2k²+1．
且${x_1}=\frac{-2km}{{1+2{k^2}}}$，${y_1}=\frac{m}{{1+2{k^2}}}$，y₀=2k+m．
則$|{OP}|=\sqrt{y_0^2+4}$．
又直線OP的方程為$y=\frac{y_0}{2}x$，
∴點(diǎn)A到直線OP的距離$d=\frac{{|{{y_0}{x_1}-2{y_1}}|}}{{\sqrt{y_0^2+4}}}$，
∴${S_{△POA}}=\frac{1}{2}|{OP}|•d=\frac{1}{2}|{{y_0}{x_1}-2{y_1}}|=\frac{1}{2}|{（2k+m）\frac{-2km}{{1+2{k^2}}}-\frac{2m}{{1+2{k^2}}}}|$
=$|{\frac{{1+2{k^2}+km}}{{1+2{k^2}}}m}|=|{k+m}|=|{k+\sqrt{1+2{k^2}}}|$．（取$m=\sqrt{1+2{k^2}}$時(shí)）
∵$\sqrt{1+2{k^2}}＞\sqrt{2{k^2}}=2|k|$，∴$k+\sqrt{1+2{k^2}}＞k+2|k|≥0$．
∴$S=k+\sqrt{1+2{k^2}}$．
∴（S-k）²=1+2k²⇒k²+2Sk-S²+1=0．
由${△^'}=8{S^2}-4≥0⇒S≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$k=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)等號(hào)成立．
同理，取$m=-\sqrt{1+2{k^2}}$時(shí)，也可得當(dāng)$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)S的最小值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴△POA面積S的最小值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要注意推理論證能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．