Question

18．以橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，經(jīng)過直線x+y=9上一點(diǎn)P作橢圓C₁，當(dāng)橢圓C₁的長(zhǎng)軸長(zhǎng)最小時(shí)，求橢圓C₁的方程．

Answer 1

分析 作點(diǎn)F₁（-2，0）關(guān)于l′的對(duì)稱點(diǎn)F₁′（9，11）．設(shè)P是l′與橢圓的公共點(diǎn)，則2a=|PF₁|+|PF₂|=|PF′₁|+|PF₂|≥|F′₁F₂|=$\sqrt{170}$，即可求當(dāng)C的長(zhǎng)軸最短時(shí)，C的方程．

解答 解：依題意，F(xiàn)₁（-2，0）、F₂（2，0）．
作點(diǎn)F₁（-2，0）關(guān)于l：x+y=9的對(duì)稱點(diǎn)F₁′（9，11）．
設(shè)P是l與橢圓的公共點(diǎn)，則2a=|PF₁|+|PF₂|=|PF′₁|+|PF₂|≥|F′₁F₂|=$\sqrt{170}$．
∴（2a）_min=$\sqrt{170}$，
此時(shí)，a²=$\frac{85}{2}$，b²=a²-c²=$\frac{77}{2}$．
∴長(zhǎng)軸最短的橢圓方程是$\frac{{x}^{2}}{\frac{85}{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{77}{2}}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．