Question

8．直角坐標(biāo)系xOy中，將曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$得到的曲線記為C₂，曲線C₃的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=k+1}\\{y=3-k}\end{array}\right.$（k為參數(shù)）．
（1）寫出曲線C₂與C₃的普通方程；
（2）設(shè)P，Q分別是曲線C₂，C₃上的動點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接將所給的曲線消去參數(shù)，化為普通方程，然后，利用伸縮變換，得到曲線C₂的方程，曲線C₃的參數(shù)方程中消去參數(shù)，得到其普通方程；
（2）可以設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線x+y+m=0，然后，轉(zhuǎn)化成平行線間的距離求解即可．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），得
x²+y²=1，
它經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$得到的曲線記為C₂，
∴曲線記為C₂的普通方程為：
$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$，
曲線C₃的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=k+1}\\{y=3-k}\end{array}\right.$（k為參數(shù)）．普通方程為x+y-4=0．
（2）設(shè)直線x+y+m=0，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{4{y}^{2}+9{x}^{2}=36}\\{x+y+m=0}\end{array}\right.$，
13x²+8mx+4（m²-9）=0，
∴△=64m²-4×13×4（m²-9）=0，
∴m²=1，
∴m=±1，
∴與直線x+y-4=0平行且和橢圓相切的直線方程為x+y±1=0，
∴|PQ|的最小值為d=$\frac{|-4+1|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化，直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．