Question

10．若曲線C：f（x）=$\frac{alnx}{x}$（a≠0）在點（1，0）處的切線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$．
（1）求a的值；
（2）求證：除切點（1，0）之外，曲線C在直線l的下方．

Answer 1

分析 （1）求出切點處切線斜率，由題意可得切線的斜率為1，即可得到a=1；
（2）利用導數分析函數的單調性，進而分析出函數圖象的形狀，可得結論．

解答 解：（1）∵y=f（x）=$\frac{alnx}{x}$
∴y′=$\frac{a-alnx}{{x}^{2}}$，
∴l(xiāng)的斜率k=y′|_x=1=a，
∴由題意可得在點（1，0）處的切線l的斜率為a=tan$\frac{π}{4}$=1；
（2）證明：切線l：y=x-1，
令f（x）=x（x-1）-lnx，（x＞0）
曲線C在直線l的下方，即f（x）=x（x-1）-lnx＞0恒成立．
則f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，又f（1）=0，
∴x∈（0，1）時，f（x）＞0，即$\frac{lnx}{x}$＜x-1，
x∈（1，+∞）時，f（x）＞0，即 $\frac{lnx}{x}$＜x-1，
即除切點（1，0）之外，曲線C在直線l的下方．

點評 本題考查的知識點是導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性，是導數的綜合應用，難度中檔．