Question

2．已知正六邊形A₁A₂…A₆內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P為圓O上一點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{O{A_i}}$的夾角為θ_i（i=1，2，…，6），若將θ₁，θ₂，…，θ₆從小到大重新排列后恰好組成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列的第3項(xiàng)為$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P位于弧$\widehat{{A}_{1}{A}_{2}}$上時(shí)，設(shè)∠POA₁=α，當(dāng)$0≤α＜\frac{π}{6}$時(shí)，則θ₁=α，θ₂=$\frac{π}{3}$-α，θ₃=$\frac{2π}{3}$-α，θ₄=π-α，θ₅=$α+\frac{2π}{3}$，θ₆=$α+\frac{π}{3}$．將θ₁，θ₂，…，θ₆從小到大重新排列后恰好組成等差數(shù)列，α，$\frac{π}{3}$-α，$α+\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$-α，$α+\frac{2π}{3}$，π-α，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P位于弧$\widehat{{A}_{1}{A}_{2}}$上時(shí)，設(shè)∠POA₁=α，當(dāng)$0≤α＜\frac{π}{6}$時(shí)，則θ₁=α，θ₂=$\frac{π}{3}$-α，θ₃=$\frac{2π}{3}$-α，θ₄=π-α，θ₅=$α+\frac{2π}{3}$，θ₆=$α+\frac{π}{3}$．
將θ₁，θ₂，…，θ₆從小到大重新排列后恰好組成等差數(shù)列，α，$\frac{π}{3}$-α，$α+\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$-α，$α+\frac{2π}{3}$，π-α，
由2（$\frac{π}{3}$-α）=α+$α+\frac{π}{3}$，解得α=$\frac{π}{12}$，此時(shí)六個(gè)角分別為：$\frac{π}{12}$，$\frac{3π}{12}$，$\frac{5π}{12}$，$\frac{7π}{12}$，$\frac{9π}{12}$，$\frac{11π}{12}$，成等差數(shù)列，
則該等差數(shù)列的第3項(xiàng)為 $\frac{5π}{12}$．
其它情況類比可得．
故答案為：$\frac{5π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的夾角、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了分類討論方法、類比推理與計(jì)算能力，屬于中檔題．