Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是橢圓上異于頂點的兩點，有下列四個不等式
①a²+b²≥（x+y）²；
②

1

x2

+

1

y2

≥（

1

a

+

1

b

）²；
③4（

x

a

）²≤（

b

y

）²；
④

xx′

a2

+

yy′

b2

≤1．
其中不等式恒成立的序號是

 

．（填所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì),不等式比較大小

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用三角換元，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)x=asinα，y=bcosα，則x+y=

a2+b2

sin（α+θ），∴a²+b²≥（x+y）²，即①正確；
（

1

x2

+

1

y2

）a²b²=（

1

a2sin2α

+

1

b2cos2α

）a²b²=（sin²α+cos²α）（

b2

sin2α

+

a2

cos2α

）≥（a+b）²，
∴

1

x2

+

1

y2

≥（

1

a

+

1

b

）²，即②正確；

4x2y2

a2

=4b²sin²αcos²α=b²sin²2α≤b²，即③正確；
設(shè)x′=acosβ，y′=bsinβ，∴

xx′

a2

+

yy′

b2

=sin（α+β）≤1，即④正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查橢圓方程，考查三角函數(shù)知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．