Question

19．半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該正四棱錐的側(cè)面積是4$\sqrt{3}$，則該正四棱錐的體積為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)球的半徑為R，底面正方形的邊長(zhǎng)為x，則2x²=（2R）²，解得x=$\sqrt{2}$R．利用S_{側(cè)面積}=×$4×\frac{1}{2}×\sqrt{2}R$×$\sqrt{{R}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，解得R．再利用正四棱錐的體積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：設(shè)球的半徑為R，底面正方形的邊長(zhǎng)為x，則2x²=（2R）²，解得x=$\sqrt{2}$R．
∵S_{側(cè)面積}=×$4×\frac{1}{2}×\sqrt{2}R$×$\sqrt{{R}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，解得R=$\sqrt{2}$．
∴x=2．
∴該正四棱錐的體積V=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$
故答案為：$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了球的性質(zhì)、正四棱錐的性質(zhì)及其側(cè)面積與體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．