Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）與橢圓交于B、C（不與A重合）兩點(diǎn)，
（i）若△ABC的面積為$\frac{\sqrt{13}}{4}$，求直線(xiàn)l的方程；
（ii）若AB與AC的斜率之和為3，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，a=2，b²=a²-c²，聯(lián)立解出即可得出．
（II）（i）設(shè)直線(xiàn)l的方程為：my=x-1，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立可得：（m²+3）y²+2my-3=0，|MN|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$．點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離d．可得△ABC的面積=$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{1}{2}$d|MN|，化簡(jiǎn)解出即可得出．
（ii）由于k_AB+k_AC=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=3，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)解出即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，a=2，b²=a²-c²，
聯(lián)立解得a=2，c=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，b²=$\frac{4}{3}$．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}$=1．
（II）（i）設(shè)直線(xiàn)l的方程為：my=x-1，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為：（m²+3）y²+2my-3=0，
△＞0，∴y₁+y₂=$\frac{-2m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-3}{3+{m}^{2}}$．
|MN|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{2\sqrt{（1+{m}^{2}）（9+4{m}^{2}）}}{3+{m}^{2}}$．
點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{|2-1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴△ABC的面積=$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{1}{2}$d|MN|=$\frac{\sqrt{9+4{m}^{2}}}{3+{m}^{2}}$，化為：13m⁴+14m²-27=0，解得m²=1，∴m=±1．
∴直線(xiàn)l的方程為：x±y-1=0．
（ii）∵k_AB+k_AC=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=3，
∴y₁（my₂-1）+y₂（my₁-1）=3（my₁-1）（my₂-1），
化為：（3m²-2m）y₁y₂+（1-3m）（y₁+y₂）+3=0．
∴$\frac{-3（3{m}^{2}-2m）}{3+{m}^{2}}$-$\frac{2m（1-3m）}{3+{m}^{2}}$+3=0，
化為：4m+9=0，
解得m=-$\frac{9}{4}$．
∴直線(xiàn)l的方程為：4x+9y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、三角形面積計(jì)算公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．