Question

【題目】已知橢圓 +y2=1，A，B，C，D為橢圓上四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AC，BD相交于原點(diǎn)O，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）滿足 = ．
（1）求證： + = ；
（2）kAB+kBC的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出此定值，并求出四邊形ABCD面積的最大值，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：分別連接AB、BC、CD、AD，∵AC、BD相交于原點(diǎn)O，

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，AC、BD互相平分，且原點(diǎn)O為它們的中點(diǎn)．

則四邊形ABCD為平行四邊形，故 ，即

（2）解：∵ = ，∴4y1y2=x1x2，

若直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0時(shí)），不滿足4y1y2=x1x2；

直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．

聯(lián)立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．

△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（4k2﹣m2+1）＞0，①

．

∵4y1y2=x1x2，又 ，

∴ ，

即 ．

整理得：k= ．

∵A、B、C、D的位置可以輪換，∴AB、BC的斜率一個(gè)是 ，另一個(gè)就是- ．

∴kAB+kBC= - =0，是定值．

不妨設(shè) ，則 ．

設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則

= ≤1．

當(dāng)m2=1時(shí)滿足①取等號(hào)．

∴S四邊形ABCD=4S△AOB≤4，即四邊形ABCD面積的最大值為4

【解析】（1）由題意可得四邊形ABCD為平行四邊形，故 ，即 + = ；（2）由 = ，得4y1y2=x1x2 ， 若直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0時(shí)），不滿足4y1y2=x1x2；當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+m，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B的橫坐標(biāo)的和與積，結(jié)合4y1y2=x1x2求得k，把三角形AOB的面積化為關(guān)于m的函數(shù)，利用基本不等式求其最值，進(jìn)一步得到四邊形ABCD面積的最大值．