Question

16．如圖，正萬(wàn)形ABCD的邊長(zhǎng)為2，M，N分別為邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且∠MAN=45°，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最小值為（　　）

• A． 4（$\sqrt{2}$-1）
• B． 8（$\sqrt{2}$-1）
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)∠BAM=θ，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，分別由解直角三角形可得AM，AN的長(zhǎng)，再由向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換公式，以及余弦函數(shù)的最值，即可得到所求最小值．

解答 解：設(shè)∠BAM=θ，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，
在直角△ABM中，AM=$\frac{2}{cosθ}$，
在直角△ADN中，AN=$\frac{2}{cos（\frac{π}{4}-θ）}$，
則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=|$\overrightarrow{AM}$|•|$\overrightarrow{AN}$|cos$\frac{π}{4}$
=$\frac{2\sqrt{2}}{cosθcos（\frac{π}{4}-θ）}$=$\frac{4\sqrt{2}}{cos\frac{π}{4}+cos（2θ-\frac{π}{4}）}$
=$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}+cos（2θ-\frac{π}{4}）}$，
當(dāng)2θ-$\frac{π}{4}$=0，即θ=$\frac{π}{8}$時(shí)，cos（2θ-$\frac{π}{4}$）取得最大值1，
則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最小值為$\frac{4\sqrt{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$=8（$\sqrt{2}$-1）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義，考查三角函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．