Question

設(shè)|

OA

|=|

OB

|=2，∠AOB=60°，

OP

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=2，則

OA

在

OP

上的投影的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：可將

OA

•

OP

用

OA

，

OB

數(shù)量積表示出來(lái)，再由|

OA

|=|

OB

|=2，且∠AOB=60°，計(jì)算出

OA

•

OP

的值，即可得到

OA

在

OP

上的投影的取值范圍．

解答： 解：由于

OP

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=2，
則

OA

•

OP

=

OA

•[λ

OA

+（2-λ）

OB

]
=λ

OA

²+（2-λ）

OA

•

OB

，
又由|

OA

|=|

OB

|=2，∠AOB=60°，
則

OA

•

OP

=4λ+4-2λ=2λ+4，
|

OP

|=

[λ OA +(2-λ) OB ]2

=

4λ2-8λ+16

，
故

OA

在

OP

上的投影為

2λ+4

4λ2-8λ+16

=

λ+2

λ2-2λ+4

，
當(dāng)λ＜-2時(shí)，上式=-

(λ+2)2 λ2-2λ+4

=-

1+ 6λ λ2-2λ+4

=-

1+ 6 λ+ 4 λ -2

∈（-1，0）；
當(dāng)λ≥-2時(shí)，上式=

(λ+2)2 λ2-2λ+4

=

1+ 6λ λ2-2λ+4

；
①λ=0，上式=1；
②-2≤λ＜0，上式=

1+ 6 λ+ 4 λ -2

∈[0，1）；
③λ＞0，上式=

1+ 6 λ+ 4 λ -2

∈（1，2]；
綜上，

OA

在

OP

上的投影的取值范圍是（-1，2]
故答案為：（-1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，綜合考查了向量三角形法則，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積的運(yùn)算及數(shù)量積公式，熟練掌握向量的相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，本題是向量基本題．