Question

（12分）已知某橢圓C，它的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F（﹣，0），且過點(diǎn)D（2，0）．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若已知點(diǎn)A（1，），當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上變動(dòng)時(shí)，求出線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程．

 

Answer 1

（1）．（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，a=2且c=，從而b=1，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式將x0、y0表示成關(guān)于x、y的式子，將P（x0，y0）關(guān)于x、y的坐標(biāo)形式代入已知橢圓的方程，化簡(jiǎn)整理即可得到線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

【解析】
（1）由題意知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，

∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)D（2，0），左焦點(diǎn)為F（﹣，0），

∴a=2，c=，可得b=1

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x0，y0），線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），

由根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得，

∵點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓上，

∴可得，化簡(jiǎn)整理得，

∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是．