Question

6．已知直線l：y=kx+1與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于A，B兩點(diǎn)
（1）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，S（k）表示△OAB的面積，若f（k）=[S（k）•（k²+1）]²，求f（k）的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意求出直線l過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)、圓心坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M（x，y），由垂徑定理得MN與MC所在直線垂直，由直線斜率之積是-1列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)后進(jìn)行驗(yàn)證，可得弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將y=kx+1代入方程（x-2）²+（y-3）²=1化簡(jiǎn)，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，利用△＞0求出k的范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出4S_△OAB²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)，求出f（k）的值域．

解答 解：（1）由題意得，直線l與y軸的交點(diǎn)為N（0，1），圓心C（2，3），
設(shè)M（x，y），由M是弦AB的中點(diǎn)知：直線MN與MC所在直線垂直，
∴$\frac{y-1}{x-0}$•$\frac{y-3}{x-2}$=-1（x≠0且x≠2），化簡(jiǎn)得x²+y²-2x-4y+3=0．
當(dāng)x=0時(shí)不符合題意，當(dāng)x=2時(shí)y=3符合題意，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+3=0}\\{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}=1}\end{array}\right.$得，8x²-28x+21=0，
解得${x}_{1}=\frac{7-\sqrt{7}}{4}$，或${x}_{2}=\frac{7+\sqrt{7}}{4}$，
∴弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是x²+y²-2x-4y+3=0（$\frac{7-\sqrt{7}}{4}＜x＜\frac{7+\sqrt{7}}{4}$）；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將y=kx+1代入方程（x-2）²+（y-3）²=1得，（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
∴△=16（1+k）²-28（1+k²）＞0得，-3k²+8k-3＞0，
解得$\frac{4-\sqrt{7}}{3}＜k＜\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，
且x₁+x₂=$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$，
∵S_△OAB=S_△ONB-S_△ONA，且|ON|=1，∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|x₂-x₁|．
則4S_△OAB²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂
=$[\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}]^{2}-4×\frac{7}{1+{k}^{2}}$=$\frac{-12{k}^{2}+32k-12}{（1+{k}^{2}）^{2}}$
則S²（k）=$\frac{-12{k}^{2}+32k-12}{{4（1+{k}^{2}）}^{2}}$=$\frac{-3{k}^{2}+8k-3}{{（1+{k}^{2}）}^{2}}$，
∴f（k）=[S（k）•（k²+1）]²=-3k²+8k-3=$-3（k-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{7}{3}$，

∵$\frac{4-\sqrt{7}}{3}＜k＜\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，
∴當(dāng)k=$\frac{4}{3}$時(shí)，f（k）取到最大值為$\frac{7}{3}$，且當(dāng)k=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}或\frac{4+\sqrt{7}}{3}$時(shí)，f（k）=0，
∴f（k）的值域是（0，$\frac{7}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用換元法求最值的基本技能，以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查了設(shè)而不求思想，化簡(jiǎn)、變形能力．