Question

11．平面直角坐標系中有A（0，1），B（2，1），C（3，4），D（-1，2）兩點
（1）求證：A，B，C，D四點共面；
（2）記（1）中的圓的圓心為M，直線l：2x-y-2=0與圓M相交于點P、Q，求弦長PQ．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓的一般式方程，由A，B，C的坐標求出過A，B，C的圓的方程，代入D的坐標成立，說明A，B，C，D四點共圓；
（2）化圓的一般方程為標準方程，求出圓心坐標與半徑，再由垂徑定理得答案．

解答 證明：（1）由已知，過點A（0，1），B（2，1），C（3，4）的圓的方程為：
x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{E+F+1=0}\\{2D+E+F+5=0}\\{3D+4E+F+25=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{D=-2}\\{E=-6}\\{F=5}\end{array}\right.$．
∴x²+y²-2x-6y+5=0，將D（-1，2）代入，適合方程，
∴點D在圓x²+y²-2x-6y+5=0上，即A，B，C，D四點共圓；
解：（2）∵圓M的方程為：（x-1）²+（y-3）²=5，
∴圓心M（1，3）到直線l：2x-y-2=0的距離d=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴弦長|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-hebthov^{2}}=2\sqrt{5-\frac{9}{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查圓的方程的求法，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了點到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．