Question

6．已知點(diǎn)P是平面區(qū)域M：$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}≤0}\end{array}\right.$內(nèi)的任意一點(diǎn)，P到平面區(qū)域M的邊界的距離之和的取值范圍為[$\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，得到P到可行域三邊距離，由表達(dá)式看出，當(dāng)a，b同時(shí)取得最小值0時(shí)，P到平面區(qū)域M的邊界的距離之和有最小值；在數(shù)形結(jié)合得到動(dòng)點(diǎn)在線段AB上時(shí)P到平面區(qū)域M的邊界的距離之和有最大值，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)求得最大值．

解答 解：設(shè)P（a，b）（a≥0，b≥0，$\sqrt{3}a+b-\sqrt{3}≤0$），
則P到三角形三邊距離之和為L=|a|+|b|+
=$a+b-\frac{\sqrt{3}a}{2}-\frac{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）a+\frac{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴當(dāng)a=b=0時(shí)，L有最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
由圖可知，在可行域內(nèi)取點(diǎn)P，過P作PE⊥x軸，過P作PF⊥y軸，作PP′⊥AB于P′，
過P′作P′G⊥x軸于G，作P′作P′H⊥y軸于H，
則有PE+PF+PP′≤P′G+P′H，
由a≥0，b≥0，$\sqrt{3}a+b-\sqrt{3}=0$，
得a+b=a+$\sqrt{3}-\sqrt{3}a$=（1-$\sqrt{3}$）a+$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)a=0時(shí)，$（a+b）_{max}=\sqrt{3}$．
∴P到平面區(qū)域M的邊界的距離之和的取值范圍為[$\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}$]．
故答案為：[$\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．