Question

16．當函數(shù)y=a^x（a＞1）與函數(shù)y=x有且僅有一個交點，求a的值．

Answer 1

分析 函數(shù)y=a^x（a＞1）與函數(shù)y=x有且僅有一個交點即他們是相切的情況．

解答 解：有題意：設在點（x₀，y₀）處y=a^x（a＞1）與函數(shù)y=x相切，
∵y′=a^xlna，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{{x}_{0}}lna=1}\\{{a}^{{x}_{0}}={x}_{0}}\end{array}\right.$，
∴l(xiāng)na=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴a=e${\;}^{\frac{1}{{x}_{0}}}$     
把a=e${\;}^{\frac{1}{{x}_{0}}}$代入a${\;}^{{x}_{0}}$lna=1，

解得：a=e${\;}^{\frac{1}{e}}$．

點評 本題主要考查直線與指數(shù)函數(shù)的圖象相切的情況，屬于基礎題，就是解方程難了一點．