Question

17．已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，點G是△OAB的重心，過點G的直線PQ與OA、OB分別交于P、Q兩點．
（1）用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{OG}$；
（2）若$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}$=n$\overrightarrow$，試問$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$是否為定值，證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）延長OG交AB于D，即有D為AB的中點，應用重心的性質和中點向量表示，可得$\overrightarrow{OG}$；
（2）由已知條件求得$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$，結合（1）的結論，應用三點共線的向量表示，其系數和為1，即可得到所求定值．

解答 解：（1）點G是△OAB的重心，
延長OG交AB于D，即有D為AB的中點，
可得$\overrightarrow{OG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；
（2）$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$為定值3．
理由：由$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}$=n$\overrightarrow$，
可得$\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{m}$$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow$=$\frac{1}{n}$$\overrightarrow{OQ}$，
即有$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{3m}$$\overrightarrow{OP}$+$\frac{1}{3n}$$\overrightarrow{OQ}$，
由三點P，G，Q共線，可得$\frac{1}{3m}$+$\frac{1}{3n}$=1，
即為$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=3．
則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$為定值3．

點評 本題考查平面向量和應用，主要是向量共線定理和三點共線的向量表示，考查運算能力，屬于中檔題．