Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為B（0，-3），離心率為

2

2

．
（1）求橢圓方程；
（2）過點A（0，1）且斜率為k的直線l交橢圓于M、N兩點，求證：BM⊥BN．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為B（0，-3），離心率為

2

2

，可得b=3，

c

a

=

2

2

，又a²=b²+c²．解出即可．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線l的方程為y=kx+1．與橢圓的方程聯(lián)立，利用數(shù)量積運算、根與系數(shù)的關系即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為B（0，-3），離心率為

2

2

，
∴b=3，

c

a

=

2

2

，又a²=b²+c²．
解得c=3，a²=18．
∴橢圓的方程為

x2

18

+

y2

9

=1．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直線l的方程為y=kx+1．
聯(lián)立

y=kx+1 x2+2y2=18

，化為（1+2k²）x²+4kx-16=0，
∴x₁+x₂=-

4k

1+2k2

，x₁x₂=

-16

1+2k2

．
∴

BM

•

BN

=（x₁，y₁+3）•（x₂，y₂+3）
=x₁x₂+（kx₁+4）（kx₂+4）
=（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16
=

-16(1+k2)

1+2k2

+

-16k2

1+2k2

+16
=0．
∴

BM

⊥

BN

．
∴BM⊥BN．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、數(shù)量積運算，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．