Question

對于函數(shù)f（x），如果存在區(qū)間M=[a，b]（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=x³    ②f（x）=e^x    ③f（x）=lnx+1    ④f（x）=（x-1）²
其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)已知條件可得，要讓函數(shù)f（x）存在穩(wěn)定區(qū)間，則函數(shù)y=x與f（x）的圖象至少有兩個交點，所以判斷給出的四個函數(shù)和函數(shù)y=x的交點情況即可．

解答： 解：通過已知條件知：若f（x）存在穩(wěn)定區(qū)間，則函數(shù)y=x與f（x）圖象至少有兩個交點；
①f（x）=x³，x∈[-1，1]時，f（x）∈[-1，1]，即存在M=[-1，1]，使得{y=f（x），x∈M}=M；
即該函數(shù)存在穩(wěn)定區(qū)間；
②f（x）=e^x，對于x∈[a，b]，f（x）∈[e^a，e^b]，通過圖象可以看出，y=x與f（x）=e^x圖象不存在交點，∴該函數(shù)不存在穩(wěn)定區(qū)間；

③f（x）=lnx+1，對于x∈[a，b]，f（x）∈[lna+1，lnb+1]，f（x）的圖象是將lnx的圖象向上平移1個單位得到，通過圖象可以看出y=x與f（x）=lnx+1的圖象有2個交點，∴該函數(shù)存在穩(wěn)定區(qū)間；

④f（x）=（x-1）²，令y=f（x），解

y=x y=(x-1)2

，得x=

3± 5

2

，∴存在區(qū)間M=[

3- 5

2

，

3+ 5

2

]，使得x∈M，且f（x）∈M，即該函數(shù)存在穩(wěn)定區(qū)間．
∴存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有：①④．
故答案為：①③④．

點評：考查函數(shù)的定義域，值域，通過圖象解決問題以及對穩(wěn)定區(qū)間概念的理解．