Question

【題目】已知如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線，現(xiàn)將沿著對(duì)角線翻折至點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若，且點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，求與平面夾角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)O，連接和，在菱形中，易得，，，再利用線面垂直的判定定理證明.

（2）根據(jù)平面幾何知識(shí)，得到為等邊三角形，再由（1）得平面平面，則平面.作，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，先求得平面的一個(gè)法向量為，的坐標(biāo)，然后代入公式.

（1）如圖所示：

取的中點(diǎn)O，連接和，

在菱形中，

，，，

所以面，

又面，

所以.

（2）由于菱形的邊長(zhǎng)為2，，取的中點(diǎn)F，

根據(jù)余弦定理得，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

所以.

又，則為等邊三角形，

由（1）得平面平面，則平面.

作，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，

設(shè)面的一個(gè)法向量為，

則，則，

令，則 ，

所以，，

設(shè)與平面的夾角為θ，

則.