Question

如圖,為了測量河對岸兩個建筑物C、D之間的距離,在河岸這邊取兩點A、B,測得∠BAC=45°,

∠DAC=75°,∠ABD=30°,∠DBC=45°.又AB=千米,A、B、C、D在同一平面內(nèi),試求C、D之間的距離.

   

Answer 1

思路分析:這是典型的利用近處的兩個地點測量不能到達的兩點間的距離的問題,一般需要構(gòu)造幾個三角形來解決問題.這幾個三角形一般采用如圖的△ABC、△ABD、△ACD(或△BCD).先在△ABC中利用正弦定理求出AC(或BC),再在△ABD中求出AD(或BD),然后在△ACD(或△BCD)中結(jié)合∠DAC(或∠DBC),再利用余弦定理求出CD的長.

    解:由題意,∠ABC=30°+45°=75°,

∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-45°-75°=60°.

    在△ABC中,=,

∴AC==.

    在△ABD中,∠DAB=75°+45°=120°,∠ADB=30°,

∴△ABD為等腰三角形.∴AD=AB=.

    在△ACD中,由余弦定理得

CD²=AD²+AC²-2AD·AC·cos∠DAC=()²+()²-2···=5.

∴CD=(千米).