Question

17．給出下列四個命題：
①函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點；
②要得到函數(shù)y=sinx的圖象，只需將函數(shù)$y=cos（x-\frac{π}{3}）$的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位；
③若m≥-1，則函數(shù)$y={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-2x-m）$的值城為R；
④“a=1”是“函數(shù)f（x）=$\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件；
⑤已知{a_n}為等差數(shù)列，若$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}$＜-1，且它的前n項和S_n有最大值，那么當(dāng)S_n取得最小正值時，n=20．
其中正確命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得①正確；要得到此函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)y=$cos（x-\frac{π}{3}）$的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，故②錯誤；根據(jù)對數(shù)的真數(shù)可取遍所有的正實數(shù)，可得此對數(shù)函數(shù)的值域為R，故③正確；根據(jù)a=1時，函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）=$\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在定義域上是奇函數(shù)時，a=±1，可得④正確；由S_n有最大值，得d＜0，進(jìn)一步得到S₂₀＜0，故⑤錯誤；

解答 解：對于①函數(shù)f（x）=lnx-2+x，在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，f（1）=-1，f（e）=e-1＞0，根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得在區(qū)間（1，e）上存在零點，故①正確．
對于②函數(shù)y=sinx化為y=cos（x-$\frac{π}{2}$），要得到此函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)y=$cos（x-\frac{π}{3}）$的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得到y(tǒng)=$cos（x-\frac{π}{6}-\frac{π}{3}）$=cos（x-$\frac{π}{2}$）=sinx，故②錯誤；
對于③當(dāng) m≥-1，函數(shù)$y={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-2x-m）$的真數(shù)為 x²-2x-m，判別式△=4+4m≥0，故真數(shù)可取遍所有的正實數(shù)，故函數(shù)$y={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-2x-m）$的值域為R，故③正確．
對于④函數(shù)f（x）=$\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在定義域上是奇函數(shù)，則$f（-x）=\frac{a-{e}^{-x}}{1+a{e}^{-x}}=\frac{a{e}^{x}-1}{{e}^{x}+a}$=$-f（x）=-\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，即解得a=±1，故④正確；
對于⑤S_n有最大值，∴d＜0，$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1＜0，于是a₁₁＜0，a₁₀＞0，∴S₁₉=19a₁₀＞0，于是a₁₁＜-a₁₀，即a₁₁+a₁₀＜0，于是S₂₀=10（a₁₁+a₁₀）＜0，于是所求n=19，故⑤錯誤；
∴正確命題的序號是：①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題主要考查命題的真假的判斷，考查了函數(shù)零點的判定定理，對數(shù)不等式和等差數(shù)列的前n項和以及函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)的圖象，屬于中檔題．