Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}-2x）+2{cos^2}x-1$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱軸方程；
（2）將f（x）的圖象左移$\frac{π}{12}$個單位，再向上移1個單位得到g（x）的圖象，試求g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得函數(shù)的圖象的對稱軸方程．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$的值域．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}-2x）+2{cos^2}x-1$=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故它的周期為$\frac{2π}{2}$=π，令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函數(shù)的圖象的對稱軸方程為：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z．
（2）將f（x）的圖象左移$\frac{π}{12}$個單位，可得y=2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把所得圖象向上移1個單位得到g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1 的圖象．
由x∈區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$，可得 2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，故sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
故g（x）∈[1-$\sqrt{3}$，3]．

點評 本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．