Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)，并且同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：①對(duì)正數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）；②f（

1

2

）=1．
（1）求f（1）和f（4）的值；
（2）求滿足f（3+x）+f（3-x）＞-2的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法即可求f（1）和f（4）的值；
（2）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）令x=y=1⇒f（1）=0；令x=2，y=

1

2

⇒f（1）=f（2）+f(

1

2

)，
∴f（2）=-1，
再令x=y=2⇒f（4）=f（2）+f（2）=-2，∴f（1）=0，f（4）=-2．
（2）∵f（3+x）+f（3-x）=f（9-x²），
其中，

3+x＞0 3-x＞0

，又-2=f（4），
∴原不等式化為：f（9-x²）＞f（4），
又f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴

3+x＞0 3-x＞0 9-x2＜4

，∴-3＜x＜-

5

或

5

＜x＜3，
∴不等式解集為：（-3，-

5

）∪（

5

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解集抽象函數(shù)的基本方法．