Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值；
（2）若a＞2，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；
（3）若存在a∈[3，6]，使得關(guān)于x的方程f（x）=t+2a有三個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過圖象直接得出；
（2）將x分區(qū)間進(jìn)行討論，去絕對值寫出解析式，求出單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)3≤a≤6時，由（1）知f（x）在（-∞，

a+2

2

]和[a，+∞）上分別是增函數(shù)，在[

a+2

2

，a]上是減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)2a＜t+2a＜

(a+2)2

4

時，方程f（x）=t+2a有三個不相等的實數(shù)解

解答： 解：（1）當(dāng)a=2，x∈[0，3]時，f（x）=x|x-2|+2x=

x2，x≥2 -x2+4x，0≤x＜2

作函數(shù)圖象，
可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上是增函數(shù)．
所以f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為f（3）=9．
（2）f（x）=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

①當(dāng)x≥a時，f（x）=(x-

a-2

2

)2-

(a-2)2

4

．
因為a＞2，所以

a-2

2

＜a．
所以f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增．
②當(dāng)x＜a時，f（x）=-(x-

a+2

2

)2+

(a+2)2

4

．
因為a＞2，所以

a+2

2

＜a．
所以f（x）在（-∞，

a+2

2

]上單調(diào)遞增，在[

a+2

2

，a]上單調(diào)遞減．
綜上所述，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，

a+2

2

]和[a，+∞），遞減區(qū)間是[

a+2

2

，a]．
（3）當(dāng)3≤a≤6時，由（1）知f（x）在（-∞，

a+2

2

]和[a，+∞）上分別是增函數(shù)，在[

a+2

2

，a]上是減函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)2a＜t+2a＜

(a+2)2

4

時，方程f（x）=t+2a有三個不相等的實數(shù)解．
即0＜t＜

(a-2)2

4

令g(a)=

(a-2)2

4

，g（a）在a∈[3，6]時是增函數(shù)，
故g（a）_max=4．
∴實數(shù)t的取值范圍是（0，4）．

點評：本題考查了函數(shù)的最值，函數(shù)單調(diào)性的證明，滲透了分類討論思想，綜合性較強(qiáng)，是較難的一道題．