Question

如圖，某興趣小組測(cè)得菱形養(yǎng)殖區(qū)ABCD的固定投食點(diǎn)A到兩條平行河岸線l₁、l₂的距離分別為4m、8m，河岸線l₁與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點(diǎn)D的距離為1m，l₂與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點(diǎn)B的距離為2m．
（1）如圖甲，養(yǎng)殖區(qū)在投食點(diǎn)A的右側(cè)，若該小組測(cè)得∠BAD=60°，請(qǐng)據(jù)此算出養(yǎng)殖區(qū)的面積；
（2）如圖乙，養(yǎng)殖區(qū)在投食點(diǎn)A的兩側(cè)，試在該小組未測(cè)得∠BAD的大小的情況下，估算出養(yǎng)殖區(qū)的最小面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AD與l₁所成夾角為α，推出AB與l₂所成夾角為60°-α，對(duì)菱形ABCD的邊長(zhǎng)“算兩次”得

3

sinα

=

6

sin(60°-α)

，
求出tanα=

3

5

，然后求出養(yǎng)殖區(qū)的面積；
（2）如圖乙，設(shè)AD與l₁所成夾角為α，∠BAD=θ∈（120°，180°），推出AB與l₂所成夾角為（180°-θ+α），
類似（1）求出養(yǎng)殖區(qū)的面積，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解養(yǎng)殖區(qū)的面積的最小值．

解答：解：（1）如圖甲，設(shè)AD與l₁所成夾角為α，
則AB與l₂所成夾角為60°-α，
對(duì)菱形ABCD的邊長(zhǎng)“算兩次”得

3

sinα

=

6

sin(60°-α)

，
解得tanα=

3

5

，
所以，養(yǎng)殖區(qū)的面積S=(

3

sinα

)2•sin60°=9(1+

1

tan2α

)•sin60°=42

3

(m2)；
（2）如圖乙，設(shè)AD與l₁所成夾角為α，∠BAD=θ∈（120°，180°），
則AB與l₂所成夾角為（180°-θ+α），
對(duì)菱形ABCD的邊長(zhǎng)“算兩次”得

3

sinα

=

6

sin(180°-θ+α)

，
解得tanα=

sinθ

2+cosθ

，
所以，養(yǎng)殖區(qū)的面積S=(

3

sinα

)2•sinθ=9(1+

1

tan2α

)•sinθ=9(

5+4cosθ

sinθ

)，
由S′=9(

5+4cosθ

sinθ

)′=-9(

5cosθ+4

sin2θ

)=0
得cosθ=-

4

5

，
經(jīng)檢驗(yàn)得，當(dāng)cosθ=-

4

5

時(shí)，
養(yǎng)殖區(qū)的面積S_min=27（m²）．
答：（1）養(yǎng)殖區(qū)的面積為42

3

m2；（2）養(yǎng)殖區(qū)的最小面積為27m²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的解法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，對(duì)菱形ABCD的邊長(zhǎng)“算兩次”是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．