Question

下列5個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出直線l⊥平面MNP的所有圖形的序號是（　　）

• A、①③④
• B、①④⑤
• C、②④⑤
• D、①③⑤

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：設定正方體的頂點如圖，連結DB，AC，根據(jù)M，P分別為中點，判斷出MP∥AC，由四邊形ABCD為正方形，判斷出AC⊥BD進而根據(jù)DD′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，判斷出DD′⊥AC，進而根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出AC⊥平面DBB′，根據(jù)線面垂直的性質可知AC⊥DB′，利用線面垂直的判定定理推斷出由MP∥AC，推斷出DB′⊥MP，同理可證DB′⊥MP，DB′⊥NP，利用線面垂直的判定定理推斷出DB′⊥平面MNP．④中由①中證明可知l⊥MP，根據(jù)MP∥AC，AC⊥l，推斷出l⊥MP，進而根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出l⊥平面MNP，同理可證明⑤中l(wèi)⊥平面MNP．

解答： 解：設定正方體的頂點如圖，連結DB，AC，
∵M，P分別為中點，
∴MP∥AC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
∵BB′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB′⊥AC，
∵BB′∩DB′=B，BB′?平面DBB′，AC?平面DBB′，
∴AC⊥平面DBB′，
∵DB′?平面DBB′，
∴AC⊥DB′，
∵MP∥AC，
∴DB′⊥MP，
同理可證DB′⊥MN，DB′⊥NP，
∵MP∩NP=P，MP?平面MNP，NP?平面MNP，
∴DB′⊥平面MNP，即l垂直于平面MNP，故①正確．
④中由①中證明可知l⊥MP，
∵MP∥AC，
AC⊥l，
∴l(xiāng)⊥MP，
∴l(xiāng)⊥平面MNP，
同理可證明⑤中l(wèi)⊥平面MNP．
故選：B．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理．考查了學生空間思維能力和觀察能力，屬于基本知識的考查．