Question

在二項式（

1

2

+2x）ⁿ的展開式中，若第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項．

Answer 1

考點：二項式定理的應(yīng)用

專題：二項式定理

分析：由題意可得

C

4 n

+

C

6 n

=2

C

5 n

，求得n=7或n=14，分類討論求得展開式中二項式系數(shù)最大的項．

解答： 解：∵二項式（

1

2

+2x）ⁿ的展開式中，若第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，
∴

C

4 n

+

C

6 n

=2

C

5 n

，∴n=7或n=14，
當n=7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T₄和T₅，
且T4=

C

3 7

(

1

2

)4(2x)3=

35

2

x3，T5=

C

4 7

(

1

2

)3(2x)4=70x4．
當n=14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T₈，
且T8=

C

7 14

(

1

2

)7(2x)7=3432x7．

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．