Question

12．若曲線y=f（x）上存在兩個不同的點M、N，使得y=f（x）在這兩點處的切線是平行或重合的，則稱該曲線為“斜同曲線”，給出下列方程：
①y=e^x-1；②y=x²-|x|；③|x|+1=$\sqrt{4-{y^2}}$；④y=|x|+$\frac{2}{|x|}$
它們所對應的曲線是斜同曲線的為（填序號）②③④．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的圖象的特征，判斷此函數(shù)是否是斜同曲線．

解答 解：①y=e^x-1，∴y′=e^x是增函數(shù)，∴任意兩點處的切線斜率都不相等，不是斜同曲線；
②y=x²-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x≥0}\\{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，在 x=$\frac{1}{2}$和 x=-$\frac{1}{2}$處的切線都是y=-$\frac{1}{4}$，故②是斜同曲線；
③由于|x|+1=$\sqrt{4-{y^2}}$，即 x²+2|x|+y²-3=0，結(jié)合圖象是兩段圓弧，在 x=1和 x=-1處的切線平行，可得③是斜同曲線；
④y=|x|+$\frac{2}{|x|}$在 x=$\sqrt{2}$和 x=-$\sqrt{2}$處的切線都是y=2$\sqrt{2}$，故④是斜同曲線．
故答案為：②③④．

點評 本題考查斜同曲線的定義，函數(shù)圖象的特征，準確判斷一個函數(shù)是斜同曲線是解題的難點．