Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+a，
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f（x）＞1的解集
（2）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，不等式f（x）＞1可化為x²+2x-2＞1，解不等式可得答案；
（2）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，則a＞-x²-2x在x∈[1，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=-x²-2x，分析函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，不等式f（x）＞1可化為x²+2x-2＞1，
即x²+2x-3＞0，
解得{x|x＞1或x＜-3}．
（2）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
則a＞-x²-2x在x∈[1，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1
則g（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)
當(dāng)x=1時(shí)g（x）取最小值為-3，
∴a得取值范圍為{a|a＞-3}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解二次不等式，恒成立問(wèn)題，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．