Question

已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)f′（x），若存在x₀，使得f（x₀）=f′（x₀），則稱x₀是f（x）的一個(gè)“巧值點(diǎn)”，下列函數(shù)中，有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）
①f（x）=x²，②f（x）=e^-x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，⑤f(x)=x+

1

x

．

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義

分析：根據(jù)“巧值點(diǎn)”的定義，對(duì)①②③④⑤五個(gè)命題逐一判斷即可得到答案．

解答： 解：①中的函數(shù)f（x）=x²，f′（x）=2x．要使f（x）=f′（x），則x²=2x，解得x=0或2，可見函數(shù)有巧值點(diǎn)；
對(duì)于②中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則e^-x=-e^-x，由對(duì)任意的x，有e^-x＞0，可知方程無解，原函數(shù)沒有巧值點(diǎn)；
對(duì)于③中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則lnx=

1

x

，

由函數(shù)f（x）=lnx與y=

1

x

的圖象知，它們有交點(diǎn)，因此方程有解，原函數(shù)有巧值點(diǎn)；
對(duì)于④中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則tanx=

1

cos2x

，即sinxcosx=1，sin2x=2，顯然無解，原函數(shù)沒有巧值點(diǎn)；
對(duì)于⑤中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則x+

1

x

=1-

1

x2

，即x³-x²+x+1=0，
設(shè)函數(shù)g（x）=x³-x²+x+1，g′（x）=3x²+2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
顯然函數(shù)g（x）在（-1，0）上有零點(diǎn)，原函數(shù)有巧值點(diǎn)．
故有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)為①③⑤，共3個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，突出等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的考查，屬于難題．