Question

20．已知函數(shù)f（x）=（3-a）x-2+a-2lnx（a∈R）
（1）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-x在（0，$\frac{1}{2}$）上無(wú)零點(diǎn)，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)x∈（0，$\frac{1}{2}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，令l（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3-a-$\frac{2}{x}$=$\frac{（3-a）x-2}{x}$，
當(dāng)a≥3時(shí)，有f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜3時(shí)，令f′（x）=0，得x=$\frac{2}{3-a}$，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，3）單調(diào)，
則$\frac{2}{3-a}$≤1或$\frac{2}{3-a}$≥3，解得：a≤1或$\frac{7}{3}$≤a＜3，
綜上，a的范圍是（-∞，1]∪[$\frac{7}{3}$，+∞）；
（2）x→0時(shí)，g（x）→+∞，
∴g（x）=（2-a）（x-1）-2lnx＜0在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立不可能，
故要使函數(shù)g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）無(wú)零點(diǎn)，只需對(duì)任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$），g（x）＞0恒成立，
即對(duì)x∈（0，$\frac{1}{2}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，
令l（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
則l′（x）=$\frac{2lnx+\frac{2}{x}-2}{{（x-1）}^{2}}$，
令m（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-2，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
則m′（x）=$\frac{-2（1-x）}{{x}^{2}}$＜0，
故m（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上遞減，于是m（x）＞m（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2＞0，
從而，l′（x）＞0，于是l（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，
∴l(xiāng)（x）＜l（$\frac{1}{2}$）=2-4ln2，
故要使a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，只需a∈[2-4ln2，+∞），
綜上，若函數(shù)g（x）=f（x）-x在（0，$\frac{1}{2}$）上無(wú)零點(diǎn)，則a的最小值是2-4ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．