Question

8．傾斜角為45°的直線l經(jīng)過拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F，且l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|$\overrightarrow{FA}$|•|$\overrightarrow{FB}$|的值為32．

Answer 1

分析 由拋物線y²=8x，可得焦點(diǎn)F（2，0），直線l的方程為：y=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線的定義即可得出．

解答 解：由拋物線y²=8x，可得焦點(diǎn)F（2，0），
直線l的方程為：y=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化為：x²-12x+4=0，
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=4．
∴|$\overrightarrow{FA}$|•|$\overrightarrow{FB}$|=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=4+2×12+4=32．
故答案為：32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．