Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{（x+2）（x-t）}{{x}^{2}}$為偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)t值；
（2）記集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg²2+lg2lg5+lg5-1，判斷λ與E的關(guān)系；
（3）當(dāng)x∈[a，b]（a＞0，b＞0）時(shí)，若函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2-$\frac{5}{a}$，2-$\frac{5}$]，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出t的值；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，求出E的元素，求出λ的值，判斷即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴$\frac{（x+2）（x-t）}{{x}^{2}}$=$\frac{（-x+2）（-x-t）}{{x}^{2}}$，
∴2（t-2）x=0，
∵x是非0實(shí)數(shù)，故t-2=0，解得：t=2；
（2）由（1）得，f（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
∴E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}={-3，0，$\frac{5}{9}$}，
而λ=lg²2+lg2lg5+lg5-1=lg2+lg5-1=0，
∴λ∈E；
（3）∵f（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在[a，b]遞增，
∵函數(shù)f（x）的值域是[2-$\frac{5}{a}$，2-$\frac{5}$]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=1-\frac{4}{{a}^{2}}=2-\frac{5}{a}}\\{f（b）=1-\frac{4}{^{2}}=2-\frac{5}}\end{array}\right.$，
∵b＞a＞0，
解得：a=1，b=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查集合和元素的關(guān)系，是一道中檔題．