Question

2．若實數x，y滿足不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+2y-4≥0}\\{2x-y-8≤0}\end{array}}$，則z=y-x最小值是-4．z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的最大值是7．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合進行求解即可．

解答 解：由z=y-x得y=x+z
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：
平移直線y=x+z由圖象可知當直線y=x+z經過點B時，直線y=x+z的截距最小，此時z也最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{2x-y-8=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，即B（4，0）．
代入目標函數z=y-x，
得z=0-4=-4．
z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$=1+2×$\frac{y+1}{x+1}$，
設k=$\frac{y+1}{x+1}$，則k的幾何意義是區(qū)域內的點到D（-1，-1）的斜率，
由圖象知AD的斜率最大，此時k=$\frac{2+1}{0+1}$=3，
即z=1+2×3=7．
z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的最大值是7，
故答案為：-4；7．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用直線平移以及轉化為直線斜率，利用數形結合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．綜合性較強．