Question

17．已知等差數(shù)列{log₃（a_n-1）}（n∈N^*）的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂=10，S₇=28．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出．
（2）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{log₃（a₁-1）}（n∈N*）的公差為d，
由S₇=28，得log₃（a₄-1）=4；          …（2分）
又a₂=10，即log₃（a₂-1）=2，…（3分）
則$d=\frac{{{{log}_3}（{a_4}-1）-{{log}_3}（{a_2}-1）}}{2}=1$，…（5分）
所以log₃（a_n-1）=2+（n-2）×1=n，…（6分）
故${a_n}={3^n}+1$．…（7分）
（2）由（1）知${b_n}=\frac{1}{{（{3^{n+1}}+1）-（{3^n}+1）}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{3^n}$…（9分）
所以，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…\frac{1}{3^n}）$…（10分）
=$\frac{1}{2}×\frac{{\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{{4•{3^n}}}$…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和，要求熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．