Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）設是函數(shù)的極值點，求并討論的單調(diào)性；

（2）設是函數(shù)的極值點，且恒成立，求的取值范圍（其中常數(shù)滿足）．

Answer 1

【答案】（1），在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

（2）．

【解析】

試題分析：（1）求導可得 ，然后對進行分類討論；（2），設在單調(diào)遞增在單調(diào)遞增是在的唯一零點的取值范圍是．

試題解析：（1），因為是函數(shù)的極值點，

所以，所以，所以

當時，，所以，

當時，，所以，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

（2），設，則，

所以在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增．

由于是函數(shù)的極值點，所以是在的唯一零點，

所以

由于時，；當時，，

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

且函數(shù)在處取得最小值，所以，

因為恒成立，所以

∴，即．

又因為，故可解得．

所以，所以，

即的取值范圍是．