【題目】若存在常數(shù),使得對(duì)定義域內(nèi)的任意,都有成立,則稱函數(shù)在其定義域 上是“利普希茲條件函數(shù)”.

(1)若函數(shù)是“利普希茲條件函數(shù)”,求常數(shù)的最小值;

(2)判斷函數(shù)是否是“利普希茲條件函數(shù)”,若是,請(qǐng)證明,若不是,請(qǐng)說明理由;

(3)若是周期為2的“利普希茲條件函數(shù)”,證明:對(duì)任意的實(shí)數(shù),都有

【答案】(1) ;(2)不是,理由見解析;(3)證明見解析.

【解析】試題分析:1不妨設(shè),則恒成立. ,從而可得結(jié)果;2,則從而可得函數(shù)不是利普希茲條件函數(shù); 3)設(shè)的最大值為,最小值為,在一個(gè)周期,內(nèi),利用基本不等式的性質(zhì)可證明.

試題解析:(1)若函數(shù)f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希茲條件函數(shù)”,則對(duì)于定義域[1,4]上任意兩個(gè)x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成立,

不妨設(shè)x1>x2,則k≥=恒成立.

∵1≤x2<x1≤4,∴,

k的最小值為

(2)f(x)=log2x的定義域?yàn)椋?,+∞),

令x1=,x2=,則f()﹣f()=log2﹣log2=﹣1﹣(﹣2)=1,

而2|x1﹣x2|=,∴f(x1)﹣f(x2)>2|x1﹣x2|,

函數(shù)f(x)=log2x 不是“2﹣利普希茲條件函數(shù)”.

(3)設(shè)f(x)的最大值為M,最小值為m,在一個(gè)周期[0,2]內(nèi)f(a)=M,f(b)=m,

則|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b)≤|a﹣b|.

若|a﹣b|≤1,顯然有|f(x1)﹣f(x2)|≤|a﹣b|≤1.

若|a﹣b|>1,不妨設(shè)a>b,則0<b+2﹣a<1,

∴|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b+2)≤|a﹣b﹣2|<1.

綜上,|f(x1)﹣f(x2)|≤1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”. 執(zhí)行該程序框圖,若輸入的分別為16,20,則輸出的( )

A. 0B. 2C. 4D. 1

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【題目】已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為2416,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.

I)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人?

II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.

i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;

ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.

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【題目】已知橢圓,分別是橢圓短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn);是橢圓的左焦點(diǎn),P是橢圓上異于點(diǎn)、的點(diǎn),是邊長為4的等邊三角形.

(1)寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)R滿足:,.求證:的面積之比為定值.

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【題目】如圖,在直角梯形中,,,且,點(diǎn)中點(diǎn),現(xiàn)將沿折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.

(Ⅰ)求證:平面平面

(Ⅱ)若與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過且垂直于軸的焦點(diǎn)弦的弦長為,過的直線交橢圓兩點(diǎn),且的周長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)已知直線,互相垂直,直線且與橢圓交于點(diǎn)兩點(diǎn),直線且與橢圓交于兩點(diǎn).求的值.

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【題目】已知曲線上一動(dòng)點(diǎn)Px,y)(x0)到定點(diǎn)F0)的距離與它到直線lx的距離的比是

1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;

2)若M是曲線E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線lyx+4,求點(diǎn)M到直線l的距離的最小值.

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求橢圓的離心率e;

設(shè)P為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),問是否存在過的直線與該圓相切?若存在,求出其斜率;若不存在,說明理由.

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【題目】某省的一個(gè)氣象站觀測點(diǎn)在連續(xù)4天里記錄的AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度(單位:cm)的情況如表1:

900

700

300

100

0.5

3.5

6.5

9.5

該省某市2017年11月份AQI指數(shù)頻數(shù)分布如表2:

頻數(shù)(天)

3

6

12

6

3

<>(1)設(shè),若之間是線性關(guān)系,試根據(jù)表1的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程;

(2)小李在該市開了一家洗車店,洗車店每天的平均收入與AQI指數(shù)存在相關(guān)關(guān)系如表3:

日均收入(元)

-2000

-1000

2000

6000

8000

根據(jù)表3估計(jì)小李的洗車店2017年11月份每天的平均收入.

附參考公式:,其中,.

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