Question

7．設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$\sqrt{3}$ccosA+$\sqrt{3}$acosC=2asinB
（1）求A
（2）若△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{3}$ccosA+$\sqrt{3}$acosC=2asinB，利用正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinCcosA+$\sqrt{3}$sinAcosC=2sinAsinB利用和差公式、誘導(dǎo)公式化簡即可得出．
（2）$\frac{1}{2}bc$sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，可得bc=8．由余弦定理可得：a²=$^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$ccosA+$\sqrt{3}$acosC=2asinB，
∴$\sqrt{3}$sinCcosA+$\sqrt{3}$sinAcosC=2sinAsinB，
∴$\sqrt{3}$sin（C+A）=$\sqrt{3}$sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵A為銳角，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）$\frac{1}{2}bc$sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，可得bc=8．
由余弦定理可得：a²=$^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$≥2bc-bc=bc=8，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2$\sqrt{2}$時(shí)取等號．
∴$a≥2\sqrt{2}$．
∴a的最小值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形面積計(jì)算公式、正弦定理余弦定理、三角函數(shù)求值、基本不等式的性質(zhì)、和差公式誘導(dǎo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．