Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow$=（cosx，-1）．
（1）當$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$時，求tan2x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$，已知f（θ）=$\frac{5}{4}$且0＜θ＜$\frac{π}{2}$，求θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的共線的充要條件以及二倍角的正切函數(shù)化簡求解即可．
（2）利用向量的數(shù)量積化簡求解，通過角的三角函數(shù)求出角的大小即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow$=（cosx，-1）．$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴$\frac{3}{4}$cosx+sinx=0，于是tanx=-$\frac{3}{4}$，…（2分）
∴tan2x=$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$=$-\frac{24}{7}$．…（4分）
（2）∵函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=（sinx+cosx，-$\frac{1}{4}$）•（cosx，-1））
=sinxcosx+cos²x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}sin2x$$+\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{4}$，…（8分）
由題得$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{4}$，即sin（2θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜θ＜$\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{4}$＜2θ+$\frac{π}{4}$$＜\frac{5π}{4}$，
∴2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，解得$θ=\frac{π}{4}$．…（10分）

點評 本題考查向量的共線與數(shù)量積的應用，考查計算能力，是中檔題．