Question

已知a₁=2，點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，其中n=1，2，3，…
（1）證明數(shù)列{lg（1+a_n）}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)T_n=（1+a₁）•（1+a₂）…（1+a_n），求T_n及數(shù)列{a_n}的通項；
（3）記b_n=

1

an

+

1

an+2

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意得a_n+1=a_n²+2a_n，變形得a_n+1+1=（a_n+1）²，再兩邊取對數(shù)化簡后，由等比數(shù)列的定義可證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等比數(shù)列的通項公式求出1+a_n的表達式，代入T_n根據(jù)指數(shù)的運算和等比數(shù)列的前n項公式化簡；
（Ⅲ）將a_n+1=a_n²+2a_n化簡后取倒數(shù)得

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，再代入b_n=

1

an

+

1

an+2

化簡，利用前后項相消后求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 證明：（Ⅰ）由題意得a_n+1=a_n²+2a_n，即a_n+1+1=（a_n+1）²，
兩邊取對數(shù)得，lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），即

lg(an+1+1)

lg(an+1)

=2，
由a₁=2得，lg（a₁+1）=lg3，
即數(shù)列{lg（1+a_n）}是公比為2、以lg3為首項的等比數(shù)列；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，lg（1+a_n）=2^n-1lg3=lg32n-1，
所以1+a_n=32n-1，
所以T_n=（1+a₁）•（1+a₂）…（1+a_n）
=320•321•322…32n-1=3

1-2n

1-2

=32n-1，
由1+a_n=32n-1，得a_n=32n-1-1；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，a_n+1=a_n²+2a_n=2a_n（a_n+2），
所以

1

an+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+2

)，即

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，
又b_n=

1

an

+

1

an+2

，所以b_n=2(

1

an

-

1

an+1

)，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=2[（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an

-

1

an+1

）]
=2（

1

a1

-

1

an+1

），
由a_n=32n-1-1得，a₁=2，a_n+1=32n-1，代入上式得，
S_n=1-

2

32n-1

．

點評：本題考查等比數(shù)列的定義，前n項公式，裂項相消法求數(shù)列的和，以及指數(shù)、對數(shù)的運算等，屬于中檔題．