【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),其焦點(diǎn)在軸正半軸上,為直線上一點(diǎn),圓與軸相切(為圓心),且,關(guān)于點(diǎn)對稱.
(1)求圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過的直線交圓于,兩點(diǎn),交拋物線于,兩點(diǎn),求證:.
【答案】(1)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)見證明
【解析】
(1)根據(jù)題意可得,解得a、p,即可求出圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,
(2)設(shè)l的斜率為k,那么其方程為y=k(x+2),根據(jù)韋達(dá)定理和弦長公式即可證明.
(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.
已知在直線上,故可設(shè)
因?yàn)?/span>,關(guān)于對稱,所以,解得
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
因?yàn)?/span>與軸相切,故半徑,
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由(1)知,直線的斜率存在,設(shè)為,且方程為
則到直線的距離為,
所以,
由消去并整理得:.
設(shè),,則,,.
所以
因?yàn)?/span>,,,所以
所以,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代勞動(dòng)人民在筑城、筑堤、挖溝、挖渠、建倉、建囤等工程中,積累了豐富的經(jīng)驗(yàn),總結(jié)出了一套有關(guān)體積、容積計(jì)算的方法,這些方法以實(shí)際問題的形式被收入我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中.《九章算術(shù)·商功》:“斜解立方,得兩塹堵.斜解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑.陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也.合兩鱉臑三而一,驗(yàn)之以棊,其形露矣.”下圖解釋了這段話中由一個(gè)長方體,得到“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”的過程.已知塹堵的內(nèi)切球(與各面均相切)直徑為1,則鱉臑的體積最小值為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某地區(qū)觀眾對大型綜藝活動(dòng)《中國好聲音》的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查,其中女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾收看該節(jié)目的場數(shù)與所對應(yīng)的人數(shù)表:
將收看該節(jié)目場次不低于13場的觀眾稱為“歌迷”,已知“歌迷”中有10名女性.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表
(2)此資料我們能否有95%的把握認(rèn)為“歌迷”與性別有關(guān)?
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知元集合的一些子集滿足:每個(gè)子集至少含2個(gè)元素,每兩個(gè)不同子集的交集至多含2個(gè)元素,記這些子集的元素個(gè)數(shù)的立方和為.問:是否存在不小于3的正整數(shù),使的最大值等于2009的方冪?說明你的理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】目前,新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐,為了解新冠肺炎傳播途徑,采取有效防控措施,某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息,數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(用頻率作為概率).潛伏期低于平均數(shù)的患者,稱為“短潛伏者”,潛伏期不低于平均數(shù)的患者,稱為“長潛伏者”.
(1)求這500名患者潛伏期的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),并計(jì)算出這500名患者中“長潛伏者”的人數(shù);
(2)為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否高于平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣,從上述500名患者中抽取300人,得到如下列聯(lián)表,請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為潛伏期長短與患者年齡有關(guān);
短潛伏者 | 長潛伏者 | 合計(jì) | |
60歲及以上 | 90 | ||
60歲以下 | 140 | ||
合計(jì) | 300 |
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】個(gè)人在某個(gè)節(jié)日期間互通電話問候,已知其中每個(gè)人至多打通了三個(gè)朋友家的電話,任何兩個(gè)人之間至多進(jìn)行一次通話,且任何三個(gè)人中至少有兩人,其中一個(gè)人打通了另一個(gè)人家里的電話,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)半徑為r的小球與一個(gè)半徑為R的大球在一個(gè)內(nèi)壁棱長為l的正四面體容器內(nèi)向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)。若,則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是_________。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐的底面為菱形,平面,,
分別為的中點(diǎn),.
(Ⅰ)求證:平面平面.
(Ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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